คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง
(การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B
สัญลักษณ์ ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B
หรือ เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่า
หรือ เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่า
ความสัมพันธ์ (Relation)r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B
โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range)
- โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย Dr ดังนั้น Dr = {x | (x, y) ε r}
- เรนจ์ (Range) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย R rดังนั้น Rr = {y | (x, y) ε r}
สัญลักษณ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย r-1
เขียน r-1 ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้ r-1 = {(x, y) | (y, x) ε r}
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว r-1 จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A
เขียน r-1 ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้ r-1 = {(x, y) | (y, x) ε r}
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว r-1 จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A
ฟังก์ชัน (Function) คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่แตกต่างกัน
หรือฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากันด้วย
หรือฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากันด้วย
นั่นคือ ความสัมพันธ์ f จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ถ้า (x, y1) ε f และ (x, y2) ε f แล้ว y1 = y2
ถ้าหากว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบบอกเงื่อนไข การตรวจสอบว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่สามารถทำได้กลายวิธี ดังต่อไปนี้
วิธีที่ 1 ถ้า r เป็นความสัมพันธ์ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x, y) และมีเงื่อนไข r(x, y) แล้ว ให้นำเงื่อนไข r(x, y) มาเขียนใหม่โดยเขียน y ในรูปของ x และพิจารณาดังนี้
1) ถ้าแต่ละค่าของ x หาค่า y ได้เพียงค่าเดียว สรุปว่า r เป็นฟังก์ชัน
2) ถ้ามีบางค่าของ x ที่ทำให้หาค่า y ได้มากกว่าหนึ่งค่า สรุปว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน
1) ถ้าแต่ละค่าของ x หาค่า y ได้เพียงค่าเดียว สรุปว่า r เป็นฟังก์ชัน
2) ถ้ามีบางค่าของ x ที่ทำให้หาค่า y ได้มากกว่าหนึ่งค่า สรุปว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน
วิธีที่ 2 เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ r ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x, y) และมีเงื่อนไข r(x, y)
สมมติให้ (x, y) ε r และ (x, z) ε r ดังนั้นจะได้เงื่อนไข r(x, y) และ r(x, z) พิจารณา
1) ถ้าสามารถแสดงได้ว่า y = z จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2) ถ้ากรณีที่มี y ε z จะได้ว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน
สมมติให้ (x, y) ε r และ (x, z) ε r ดังนั้นจะได้เงื่อนไข r(x, y) และ r(x, z) พิจารณา
1) ถ้าสามารถแสดงได้ว่า y = z จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2) ถ้ากรณีที่มี y ε z จะได้ว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน
วิธีที่ 3 โดยใช้กราฟ
กำหนดกราฟความสัมพันธ์ r ให้ลากเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์ rพิจารณา
1) ถ้าเส้นตรงแต่ละเส้นตัดกราฟของ r ได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2) ถ้ามีเส้นตรงบางเส้นตัดกราฟของ r มากกว่าหนึ่งจุด จะได้ว่า r จะไม่เป็นฟังก์ชัน
กำหนดกราฟความสัมพันธ์ r ให้ลากเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์ rพิจารณา
1) ถ้าเส้นตรงแต่ละเส้นตัดกราฟของ r ได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2) ถ้ามีเส้นตรงบางเส้นตัดกราฟของ r มากกว่าหนึ่งจุด จะได้ว่า r จะไม่เป็นฟังก์ชัน
กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เรามีข้อตกลงเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณ์ ดังนี้
(x, y) ε R จะเขียนแทนด้วย y = f(x)
เรียก f(x) ว่าค่าของฟังก์ชัน f ที่ x หรือเรียกว่าภาพฉาย (image) ของ x ภายใต้ฟังก์ชัน f
อ่าน f(x) ว่า เอฟของเอ็กซ์ หรือ เอฟที่เอ็กซ์ หรือเรียกสั้นๆ ว่า เอฟเอ็กซ์
เราจะพบการใช้สัญลักษณ์เกี่ยวกับฟังก์ชันอยู่ 2 ลักษณะที่สำคัญคือ การเขียน f และ f(x) ซึ่งมีความแตกต่างและการนำไปใช้ดังนี้
1) การเขียน f จะเป็นการกำหนดชื่อฟังก์ชัน (คล้ายการกำหนดชื่อเซต) เช่น กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เป็นต้น การเขียน f จะเขียนในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชิก หรือว่าเซตแบบบอกเงื่อนไขก็ได้ เช่น f = {(2, 5), (3, 7), (4, 9)} หรือ f = {(x, y) | y = 2x + 1} เป็นต้น
2) การเขียน f(x) จะเป็นการนิยามฟังก์ชัน f ว่ามีเงื่อนไข หรือลักษณะอย่างไร กำหนดให้เป็นอย่างไร มักเขียนในรูปนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ (ประโยคสัญลักษณ์) แสดงความสัมพันธ์ตั้งแต่ 2 ตัวแปรขึ้นไป และมักเขียนในรูปสมการ เช่น f(x) = 2x + 1 หรือบางครั้งอาจเขียน y = 2x + 1 ให้เข้ใจว่า การนิยามฟังก์ชัน f จะเขียนให้อยู่ในรูป y = f(x)
ดังนั้น นักรเยนจะพบเสมอว่า ในโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันโดยทั่วไป มักจะขึ้นต้นในทำนองว่า “กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามว่า f(x) = …” เป็นต้น
ดังนี้แล้ว พึงระลึกถึงและนำไปใช้ให้ถูกต้องด้วยความเคร่งครัดและระมัดระวัง
พีชคณิตของฟังก์ชัน หรือ การดำเนินการของฟังก์ชัน (Algebric Function or Operation of Function)
ฟังก์ชันประกอบ หรือ ฟังก์ชันคอมโพสิต (Composite Function)
ตัวผกผันของฟังก์ชัน หรือ ฟังก์ชันอินเวอร์ส (Inverse of Function)
ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่ง
กำหนดให้ A และ B เป็นเซต
f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B (function from A to B) ก็ต่อเมื่อ
1) f เป็นฟังก์ชัน
2) Df = A
3) Rf ε B
f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B (function from A to B) ก็ต่อเมื่อ
1) f เป็นฟังก์ชัน
2) Df = A
3) Rf ε B
สัญลักษณ์ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเขียนแทนด้วย f : A → B อ่านว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B
ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B (function from A onto B) ก็เต่อเมื่อ
1) f เป็นฟังก์ชัน
2) Df = A
3) Rf = B
1) f เป็นฟังก์ชัน
2) Df = A
3) Rf = B
ฟังก์ชันเชิงเส้น คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = ax+b เมื่อ a ,b เป็นจำนวนจริง และ กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง
ตัวอย่างของฟังก์ชันเชิงเส้น ได้แก่
1) y = x
2) y =2x +1
3) y = -3x
ฟังก์ชัน y = ax + b เมื่อ a = 0 จะได้ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = b ซึ่งมีชื่อเรียกว่า ฟังก์ชันคงตัว (constant function) กราฟของฟังก์ชันคงตัวจะเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน X ตัวอย่างของฟังก์ชันคงตัว ได้แก่
ตัวอย่าง 1 จงเขียนกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นต่อไปนี้บนระนาบเดียวกัน
วิธีทำ
จากกราฟข้างต้นจะเห็นว่า เมื่อสัมประสิทธิ์ของ x หรือ a มีค่ามากขึ้น กราฟจะเบนเข้าหาแกน Y
จากกราฟข้างต้นจะเห็นว่า เมื่อสัมประสิทธิ์ของ x หรือ a มีค่าน้อยขึ้น กราฟจะเบนเข้าหาแกน X
จากกราฟข้างต้นจะเห็นว่า กราฟของ มีแกน Y และ แกน X เป็นแกนสมมาตร
ตัวอย่าง 2 จงเขียนกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นต่อไปนี้บนระนาบเดียวกัน
วิธีทำ
จากรูป จะเห็นว่า กราฟของ y = x + c เมื่อ c =0,1,2,4 ตัดแกน Y ที่ y =0,2,4 หรือที่จุด (0,0), (0,2) และ (0,4) และตัดแกน X ที่ 0, -2, -4 หรือที่จุด (0,0), (-2,0) และ (-4,0)
จากรูปจะเห็นว่ากราฟของ y = x + c เมื่อ c = 0, -1, -3 จะตัดแกน Y ที่ y = 0,-1และ -3 หรือที่จุด (0,0), (0,-1) และ (0,-3) และตัดแกน X ที่ x = 0, 1, 3 หรือที่จุด (0,0),(1,0) และ (3,0)
ตัวอย่าง 3 จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้ พร้อมทั้งหาจุดที่กราฟตัดแกน X
1) y = x + 3
2) y = 7 - x
วิธีทำ 1) y = x + 3
จุดที่กราฟตัดแกน X คือจุดที่ y มีค่าเท่ากับศูนย์ จากรูป จุดที่กราฟตัดแกน X คือจุด (-3,0)
2) y = 7 - x
จุดที่กราฟตัดแกน X คือจุดที่ y มีค่าเท่ากับศูนย์ จากรูป จุดที่กราฟตัดแกน X คือจุด (7,0)
ตัวอย่าง 4 จงเขียนกราฟของ y = 2x + 9 และหาว่า จุด (-1,6) อยู่บนกราฟของ y หรือไม่
วิธีทำ จาก y = 2x + 9 หาจุดที่กราฟตัดแกน X และ Y และเขียนกราฟของ Y ได้ดังนี้
หาว่าจุด (-1,6) อยู่บนกราฟหรือไม่ ได้ดังนี้
จาก y = 2x + 9
หาค่า y เมื่อ x = -1
จะได้ y = 2(-1) + 9 = 7
นั่นคือ เมื่อ x = -1 จะได้ y = 7
แสดงว่า จุด (-1,7) อยู่บนกราฟของ y แต่จุด (-1,6) ไม่อยู่บนกราฟของ y
ตัวอย่าง 5 พนักงานขายผู้หนึ่งได้รับเงินเดือนจากบริษัทเดือนละ 12,000 บาท และได้รับเงินอีก 5% ของยอดขายสินค้าที่เขาขายได้
1) จงเขียนความสัมพันธ์ของรายได้ของพนักงานผู้นี้กับยอดขายสินค้าพร้อมทั้งเขียนกราฟของความสัมพันธ์ดังกล่าว
2) จงหาว่าในเดือนที่เขามียอดขาย 25,000 บาท เขาจะได้รับเงินเดือนนั้นเท่าใด
วิธีทำ
1) ให้ s แทนยอดขายสินค้า
f(s) แทนจำนวนเงินที่ได้รับจากบริษัท
จะได้ f(s) = 12,000 + (0.05)s
2) ถ้ายอดขายของพนักงานผู้นี้เท่ากับ 25,000 บาท เขาจะได้รับเงินเท่ากับ
f(25,000) = 12,000 + (0.05)25,000
= 13,250 บาท
หมายเหตุ เราสามารถใช้กราฟหาค่าประมาณของฟังก์ชันได้ เช่น จากตัวอย่างที่กล่าวมาถ้าลากเส้นกราฟต่อให้ยาวขึ้น เราสามารถประมาณจำนวนเงินที่พนักงานขายจะได้รับเมื่อเขามียอดขายเท่ากับ 80,000 บาท ได้ดังนี้
ตัวอย่าง 6 เมื่อจุดเยือกแข็งของน้ำเท่ากับ หรือ และจุดเดือดของน้ำเท่ากับ หรือ จงเขียนความสัมพันธ์ของ อุณหภูมิที่เป็นองศาเซลเซียส และองศาฟาเรนไฮต์ ในรูปของฟังก์ชันเชิงเส้น y = ax + b โดย
1) เขียนแสดงอุณหภูมิที่เป็นองศาฟาเรนไฮต์ให้อยู่ในรูปองศาเซลเซียส
2) เขียนแสดงอุณหภูมิที่เป็นองศาเซลเซียสให้อยู่ในรูปองศาฟาเรนไฮต์
3) ถ้าอุณหภูมิของน้ำวัด จะเท่ากับกี่องศาเซลเซียส
4) ถ้าอุณหภูมิของน้ำวัดได้ จะเท่ากับกี่องศาฟาเรนไฮต์
5) เขียนกราฟแทนความสัมพันธ์ในข้อ 1)
วิธีทำ
1) ให้ C แทนอุณหภูมิที่มีหน่วยเป็นองศาเซลเซียส
F แทนอุณหภูมิที่มีหน่วยเป็นองศาฟาเรนไฮต์
F = aC + b เมื่อ a และ b เป็นค่าคงตัว
หาค่าของ a และ b ได้ดังนี้
ให้ C = 0 และ F = 32
จะได้ 32 = 0a + b และ b = 32
ให้ C = 100 และ F = 212 เมื่อ b = 32
จะได้ 212 = 100a + 32
ฟังก์ชันกำลังสอง
กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง
ฟังก์ชันกำลังสอง คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป เมื่อ a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ และ ลักษณะของกราฟของฟังก์ชันนี้ขึ้นอยู่กับค่าของ a , b และ c และเมื่อค่าของ a เป็นบวกหรือลบ จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ
ดังรูป
จากรูปจะเห็นว่า ถ้า a > 0 กราฟเป็นเส้นโค้งหงายขึ้น
a < 0 กราฟเป็นเส้นโค้งคว่ำลง
กราฟของฟังก์ชันกำลังสองในรูปนี้มีชื่อว่า พาราโบลา
ตัวอย่าง 1 จงเขียนกราฟของฟังก์ชันกำลังสองต่อไปนี้
วิธีทำ
1) 2) 3)
4) 5) 6)
ตัวอย่าง 2 จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้
วิธีทำ
ตัวอย่าง 3 จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้บนระนาบเดียวกัน
วิธีทำ
1)
2)
ตัวอย่าง 4 จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้ พร้อมทั้งบอกจุดที่กราฟวกกลับ
วิธีทำ
1)
2)
3)
ตัวอย่าง 5 จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้ พร้อมทั้งบอกจุดที่กราฟวกกลับ
วิธีทำ
1)
2)
3)
4)
ในกรณีทั่วไป กราฟของ จะมีจุดที่กราฟวกกลับดังนี้
1)
จากรูปกราฟของ f มีจุดวกกลับที่จุด (h,k) ซึ่งเป็นจุดที่ f(x) มีค่าต่ำสุด และ f(h) = k เป็นค่าต่ำสุดของ f
2)
จากรูป กราฟของ f มีจุดวกกลับที่จุด (h,k) ซึ่งเป็นจุดที่ f(x) มีค่าสูงสุด และ f(h) = k เป็นค่าสูงสุดของ f
กราฟของฟังก์ชันกำลังสองมีเส้นตรง x = h เป็นเส้นสมมาตร
ตัวอย่าง 6 จงหาจุดสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันต่อไปนี้
วิธีทำ 1)
ตัวอย่าง 7 จงหาจุดวกกลับของกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้พร้อมทั้งเขียนกราฟ