ยินดีต้อนรับครับ เข้าสู่เทคโนโลยีสารสนเทค บูรณาการกับวิชา"คณิตศาสตร์"

วันจันทร์ที่ 9 ธันวาคม พ.ศ. 2556

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน






คู่อันดับ (Order Pairเป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่อันดับ ab จะเขียนแทนด้วย (ab) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง
(การเท่ากับของคู่อันดับ) (ab) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (ab) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B
สัญลักษณ์      ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B
หรือ เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่า 
ความสัมพันธ์ (Relation)r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B
โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range)
  1. โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย Dr ดังนั้น  Dr = {x | (xy) ε r}
  2.  เรนจ์ (Range) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย R rดังนั้น  Rr = {y | (xy) ε r}
สัญลักษณ์         อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย r-1
เขียน r-1 ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้  r-1 = {(xy) | (yx) ε r}
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว r-1 จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A


ฟังก์ชัน (Function)  คือ  ความสัมพันธ์  ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น  ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว  สมาชิกตัวหลังต้องไม่แตกต่างกัน
หรือ
ฟังก์ชัน  คือ  ความสัมพันธ์  ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น  ถ้าสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน  สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากันด้วย
นั่นคือ   ความสัมพันธ์ f จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ถ้า (xy1) ε f และ (xy2) ε f แล้ว  y1 = y2
ถ้าหากว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบบอกเงื่อนไข  การตรวจสอบว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่สามารถทำได้กลายวิธี  ดังต่อไปนี้
วิธีที่  1      ถ้า  r  เป็นความสัมพันธ์ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ  (xy)  และมีเงื่อนไข  r(xy)  แล้ว  ให้นำเงื่อนไข  r(xy)  มาเขียนใหม่โดยเขียน y ในรูปของ x และพิจารณาดังนี้
1)  ถ้าแต่ละค่าของ x หาค่า y ได้เพียงค่าเดียว  สรุปว่า r เป็นฟังก์ชัน
2)  ถ้ามีบางค่าของ x ที่ทำให้หาค่า y ได้มากกว่าหนึ่งค่า  สรุปว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน
วิธีที่  2      เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ r ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (xy) และมีเงื่อนไข  r(xy)
สมมติให้ (xy) ε r และ (xz) ε r  ดังนั้นจะได้เงื่อนไข  r(xy)  และ  r(xz) พิจารณา
1)  ถ้าสามารถแสดงได้ว่า  y = z จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2)  ถ้ากรณีที่มี  y ε z  จะได้ว่า  r  ไม่เป็นฟังก์ชัน
วิธีที่  3       โดยใช้กราฟ
กำหนดกราฟความสัมพันธ์ r ให้ลากเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์ rพิจารณา
1)  ถ้าเส้นตรงแต่ละเส้นตัดกราฟของ r ได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2)  ถ้ามีเส้นตรงบางเส้นตัดกราฟของ r มากกว่าหนึ่งจุด  จะได้ว่า r จะไม่เป็นฟังก์ชัน
กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เรามีข้อตกลงเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณ์ ดังนี้
(xy) ε R  จะเขียนแทนด้วย y = f(x)
เรียก f(x) ว่าค่าของฟังก์ชัน f  ที่ x หรือเรียกว่าภาพฉาย (image) ของ x ภายใต้ฟังก์ชัน f
อ่าน f(x) ว่า เอฟของเอ็กซ์ หรือ เอฟที่เอ็กซ์ หรือเรียกสั้นๆ ว่า เอฟเอ็กซ์
เราจะพบการใช้สัญลักษณ์เกี่ยวกับฟังก์ชันอยู่ 2 ลักษณะที่สำคัญคือ การเขียน f และ f(x) ซึ่งมีความแตกต่างและการนำไปใช้ดังนี้
1)      การเขียน f จะเป็นการกำหนดชื่อฟังก์ชัน (คล้ายการกำหนดชื่อเซต) เช่น กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เป็นต้น การเขียน f จะเขียนในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชิก หรือว่าเซตแบบบอกเงื่อนไขก็ได้ เช่น          f = {(2, 5), (3, 7), (4, 9)}           หรือ     f = {(xy) | y = 2x + 1}          เป็นต้น
2)      การเขียน f(x) จะเป็นการนิยามฟังก์ชัน f ว่ามีเงื่อนไข หรือลักษณะอย่างไร กำหนดให้เป็นอย่างไร มักเขียนในรูปนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ (ประโยคสัญลักษณ์) แสดงความสัมพันธ์ตั้งแต่ 2 ตัวแปรขึ้นไป และมักเขียนในรูปสมการ เช่น f(x) = 2x + 1 หรือบางครั้งอาจเขียน y = 2x + 1 ให้เข้ใจว่า การนิยามฟังก์ชัน f จะเขียนให้อยู่ในรูป y = f(x)
ดังนั้น นักรเยนจะพบเสมอว่า ในโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันโดยทั่วไป มักจะขึ้นต้นในทำนองว่า “กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามว่า f(x) = …”  เป็นต้น
ดังนี้แล้ว พึงระลึกถึงและนำไปใช้ให้ถูกต้องด้วยความเคร่งครัดและระมัดระวัง
พีชคณิตของฟังก์ชัน หรือ การดำเนินการของฟังก์ชัน (Algebric Function or Operation of Function)
ฟังก์ชันประกอบ หรือ ฟังก์ชันคอมโพสิต (Composite Function)
ตัวผกผันของฟังก์ชัน หรือ ฟังก์ชันอินเวอร์ส (Inverse of Function)
ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่ง
กำหนดให้ A และ B เป็นเซต
f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B (function from A to B) ก็ต่อเมื่อ
1)    f เป็นฟังก์ชัน
2)    Df = A
3)    Rf  ε B
สัญลักษณ์      f  เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเขียนแทนด้วย f : A → B  อ่านว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B
ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B (function from A onto B) ก็เต่อเมื่อ
1)    f เป็นฟังก์ชัน
2)    Df = A
3)    Rf = B

ฟังก์ชันเชิงเส้น   คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = ax+b เมื่อ a ,b เป็นจำนวนจริง และ  กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง

           ตัวอย่างของฟังก์ชันเชิงเส้น   ได้แก่
           1)   y = x                                                                                    

           2)   y =2x +1                                                                                 

            3)   y = -3x                                                                                

           ฟังก์ชัน  y  =  ax + b  เมื่อ    a  =  0  จะได้ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป  y  =  b  ซึ่งมีชื่อเรียกว่า  ฟังก์ชันคงตัว  (constant  function)  กราฟของฟังก์ชันคงตัวจะเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน  X  ตัวอย่างของฟังก์ชันคงตัว  ได้แก่
                                           
                                                  
ตัวอย่าง  1         จงเขียนกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นต่อไปนี้บนระนาบเดียวกัน
               

วิธีทำ             
                                                           

                      จากกราฟข้างต้นจะเห็นว่า  เมื่อสัมประสิทธิ์ของ  x  หรือ  a  มีค่ามากขึ้น  กราฟจะเบนเข้าหาแกน  Y

                   

                                                               
                        จากกราฟข้างต้นจะเห็นว่า  เมื่อสัมประสิทธิ์ของ  x  หรือ  a  มีค่าน้อยขึ้น  กราฟจะเบนเข้าหาแกน  X
                  
                                                                 

                         จากกราฟข้างต้นจะเห็นว่า กราฟของ  มีแกน  Y  และ  แกน  X  เป็นแกนสมมาตร
ตัวอย่าง  2            จงเขียนกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นต่อไปนี้บนระนาบเดียวกัน
           
วิธีทำ      
                                                                  
           จากรูป   จะเห็นว่า   กราฟของ  y  =  x + c  เมื่อ  c =0,1,2,4   ตัดแกน  Y  ที่ y =0,2,4 หรือที่จุด  (0,0), (0,2)  และ  (0,4)  และตัดแกน  X  ที่ 0, -2, -4 หรือที่จุด  (0,0), (-2,0)  และ  (-4,0)



             
                                                                                
                                           
                 จากรูปจะเห็นว่ากราฟของ  y  =  x + c  เมื่อ  c = 0, -1, -3 จะตัดแกน  Y  ที่ y = 0,-1และ -3   หรือที่จุด  (0,0),  (0,-1)  และ  (0,-3)  และตัดแกน X  ที่ x = 0, 1, 3 หรือที่จุด  (0,0),(1,0)  และ  (3,0)


ตัวอย่าง  3  จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้  พร้อมทั้งหาจุดที่กราฟตัดแกน  X
                      1)  y  =  x + 3
                      2)  y  =  7 - x
วิธีทำ              1)  y  =  x + 3

                                                                 
                                            จุดที่กราฟตัดแกน  X  คือจุดที่  y  มีค่าเท่ากับศูนย์  จากรูป  จุดที่กราฟตัดแกน  X  คือจุด  (-3,0)
                         2)  y  =  7 - x

                                                                      


                                            จุดที่กราฟตัดแกน  X  คือจุดที่  y  มีค่าเท่ากับศูนย์  จากรูป  จุดที่กราฟตัดแกน  X  คือจุด  (7,0)

ตัวอย่าง  4               จงเขียนกราฟของ  y  =  2x + 9  และหาว่า  จุด  (-1,6)  อยู่บนกราฟของ y หรือไม่

วิธีทำ         จาก  y  =  2x + 9  หาจุดที่กราฟตัดแกน  X  และ  Y  และเขียนกราฟของ  Y  ได้ดังนี้

                                    


หาว่าจุด  (-1,6)  อยู่บนกราฟหรือไม่  ได้ดังนี้
จาก  y  =  2x + 9
หาค่า  y  เมื่อ  x = -1
จะได้  y  =  2(-1) + 9 = 7
นั่นคือ  เมื่อ  x = -1  จะได้  y  =  7
แสดงว่า  จุด  (-1,7)  อยู่บนกราฟของ  y  แต่จุด  (-1,6)  ไม่อยู่บนกราฟของ  y

ตัวอย่าง  5      พนักงานขายผู้หนึ่งได้รับเงินเดือนจากบริษัทเดือนละ  12,000  บาท  และได้รับเงินอีก 5%  ของยอดขายสินค้าที่เขาขายได้
           1)  จงเขียนความสัมพันธ์ของรายได้ของพนักงานผู้นี้กับยอดขายสินค้าพร้อมทั้งเขียนกราฟของความสัมพันธ์ดังกล่าว
           2)  จงหาว่าในเดือนที่เขามียอดขาย  25,000  บาท  เขาจะได้รับเงินเดือนนั้นเท่าใด
วิธีทำ
           1)  ให้  s  แทนยอดขายสินค้า
                       f(s)  แทนจำนวนเงินที่ได้รับจากบริษัท
           จะได้  f(s)  =  12,000  +  (0.05)s

                              

            2)  ถ้ายอดขายของพนักงานผู้นี้เท่ากับ  25,000  บาท  เขาจะได้รับเงินเท่ากับ 
                   f(25,000)  =  12,000  +  (0.05)25,000
                                       =  13,250  บาท
หมายเหตุ      เราสามารถใช้กราฟหาค่าประมาณของฟังก์ชันได้  เช่น  จากตัวอย่างที่กล่าวมาถ้าลากเส้นกราฟต่อให้ยาวขึ้น  เราสามารถประมาณจำนวนเงินที่พนักงานขายจะได้รับเมื่อเขามียอดขายเท่ากับ  80,000  บาท  ได้ดังนี้
                                                         
ตัวอย่าง  6             เมื่อจุดเยือกแข็งของน้ำเท่ากับ หรือ   และจุดเดือดของน้ำเท่ากับ  หรือ  จงเขียนความสัมพันธ์ของ                             อุณหภูมิที่เป็นองศาเซลเซียส  และองศาฟาเรนไฮต์  ในรูปของฟังก์ชันเชิงเส้น  y  =  ax + b  โดย

           1)  เขียนแสดงอุณหภูมิที่เป็นองศาฟาเรนไฮต์ให้อยู่ในรูปองศาเซลเซียส
           2)   เขียนแสดงอุณหภูมิที่เป็นองศาเซลเซียสให้อยู่ในรูปองศาฟาเรนไฮต์
           3)  ถ้าอุณหภูมิของน้ำวัด     จะเท่ากับกี่องศาเซลเซียส
           4)  ถ้าอุณหภูมิของน้ำวัดได้   จะเท่ากับกี่องศาฟาเรนไฮต์
           5)  เขียนกราฟแทนความสัมพันธ์ในข้อ  1)
วิธีทำ
           1)  ให้  C  แทนอุณหภูมิที่มีหน่วยเป็นองศาเซลเซียส
                       F  แทนอุณหภูมิที่มีหน่วยเป็นองศาฟาเรนไฮต์
                       F  =  aC + b  เมื่อ  a  และ  เป็นค่าคงตัว
           หาค่าของ  a  และ  b  ได้ดังนี้
           ให้          C  =  0            และ  F  =  32
           จะได้     32  =  0a + b   และ  b  =  32
           ให้         C  =  100         และ  F  =  212  เมื่อ  b  =  32
           จะได้     212  =  100a  +  32

                   
        
 
                                    


ฟังก์ชันกำลังสอง
      กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง
           ฟังก์ชันกำลังสอง  คือ  ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป  เมื่อ  a,b,c  เป็นจำนวนจริงใดๆ  และ ลักษณะของกราฟของฟังก์ชันนี้ขึ้นอยู่กับค่าของ  a , b  และ  c  และเมื่อค่าของ  a  เป็นบวกหรือลบ  จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ 
ดังรูป
                                
                                             จากรูปจะเห็นว่า  ถ้า  a > 0  กราฟเป็นเส้นโค้งหงายขึ้น
                                                                                   a < 0  กราฟเป็นเส้นโค้งคว่ำลง
                                            กราฟของฟังก์ชันกำลังสองในรูปนี้มีชื่อว่า  พาราโบลา

ตัวอย่าง  1              จงเขียนกราฟของฟังก์ชันกำลังสองต่อไปนี้
วิธีทำ
       1)  2)    3)
    4)     5)    6)

ตัวอย่าง  2                จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้
                
วิธีทำ
                  

ตัวอย่าง  3          จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้บนระนาบเดียวกัน
           

วิธีทำ
           1)          

                 

          2)            

                       

ตัวอย่าง  4                  จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้  พร้อมทั้งบอกจุดที่กราฟวกกลับ
                 
วิธีทำ                     
       1)           



       2)              

3)                      

ตัวอย่าง  5                   จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้  พร้อมทั้งบอกจุดที่กราฟวกกลับ

                          
วิธีทำ
             1)                   

           2)                     

        3)                 

        4)                   

                               ในกรณีทั่วไป  กราฟของ   จะมีจุดที่กราฟวกกลับดังนี้

1)                                                     

                     จากรูปกราฟของ  f  มีจุดวกกลับที่จุด  (h,k)  ซึ่งเป็นจุดที่  f(x)  มีค่าต่ำสุด  และ  f(h)  =  k  เป็นค่าต่ำสุดของ  f


2)                                                                     
                    จากรูป            กราฟของ  f  มีจุดวกกลับที่จุด  (h,k)  ซึ่งเป็นจุดที่  f(x)  มีค่าสูงสุด  และ  f(h)  =  k  เป็นค่าสูงสุดของ  f 
                                         
                    กราฟของฟังก์ชันกำลังสองมีเส้นตรง  x  =  h  เป็นเส้นสมมาตร  
ตัวอย่าง  6                     จงหาจุดสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันต่อไปนี้
                   

วิธีทำ     1)         
                                     

           
                                            
                           

ตัวอย่าง  7                   จงหาจุดวกกลับของกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้พร้อมทั้งเขียนกราฟ